선형성은 직선의 형태를 띠는 성질을 의미한다. 수학에서는 선형성을 다음과 같은 가법성(Additivity)과 1차 동차성(Homogeneity of degree 1) 두 가지 조건을 모두 만족하는 함수의 성질로 정의한다.
- 가법성 : $ f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) $
- 1차 동차성 : $ f(k \cdot x) = k \cdot f(x) $
선형 함수
입력에 사용할 요소 $x$와 출력이 모두 실수인 함수에서 원점을 지나는, 다음과 같은 직선의 함수가 있다고 해보자.
$$ f(x) = ax $$
출력의 원소를 $y$로 표시했을 때, 위 함수는 $ y = ax $로 표현되며, 이를 그래프로 나타내면 원점을 지나는 직선이 될 것이다. 이 함수가 선형성을 만족하는지 직접 확인해 보자. 먼저 가법성을 만족하는지 확인해 보자. 이는 가법성을 만족하는 수식 $ f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) $에서 좌변과 우변의 값이 동일한지 확인하는 것으로 판별할 수 있다.
함수 $ f(x) = ax $에 두 미지수 $ x_1, x_2 $를 대입해 좌변과 우변을 계산한 결과는 다음과 같다.
- 좌변 : $ f(x_1 + x_2) = a(x_1 + x_2) $
- 우변 : $ f(x_1) + f(x_2) = ax_1 + ax_2 $
$ a(x_1 + x_2) = ax_1 + ax_2 $이기 때문에 함수 $ f(x) = ax $는 가법성을 만족함을 알 수 있다. 이번에는 선형성의 두번째 성질인 1차 동차성을 수학적으로 확인해 보자. 1차 동차성을 만족하는 수식 $ f(k \cdot x) = k \cdot f(x) $에 함수 $ f(x) = ax $를 적용해 좌변과 우변을 계산하면 다음과 같다.
- 좌변 : $ f(kx) = a(kx) $
- 우변 : $ kf(x) = k(ax) $
역시 $ a(kx) = k(ax) $가 성립하기 때문에 함수 $ y = ax $는 1차 동차성을 만족함을 알 수 있다.
